همراه و همگام با معلم در کلاس درس ریاضی

زنون ،رياضي دان معروف قديمي قرنها پيش اين مسئله را طرح كرده است : يك خرگوش لاك پشتي را در زمين مسطح و بدون مانع تعقيب مي كند. اين دو با هم ديگر يك كيلومتر فاصله دارند فرض مي كنيم كه سرعت لاك پشت يك كيلومتر در ساعت و سرعت خرگوش دو كيلومتر در ساعت مي باشد اما خرگوش هرگز موفق نخواهد شد به لاك پشت بر سد. زيرا :

-وقتي خرگوش به دنبال لاك پشت يك كيلو متر را در نيم ساعت طي مي كند، در اين مدت لاك پشت نيم كيلومتر راه پيموده است. يعني بعد از نيم ساعت خرگوش نمي تواند او را بگيرد.

-خرگوش براي طي نيم كيلومتر بعدي بايد ربع ساعت راه پيمايي كند. اما در اين مدت لاك پشت هم ربع كيلومتر جلو رفته است.

-خرگوش بايد ربع كيلو متر راه را در يك هشتم ساعت طي كند. اما متاسفانه باز هم موفق به گرفتن لاك پشت نخواهد شد. زيرا او در اين مدت يك هشتم كيلومتر پيش رفته است!

-اين بار خرگوش يك شانزدهم ساعت راه خواهد پيمود و در اين مدت لاك پشت نيز يك شانزدهم كيلو متر جلو خواهد رفت! و اگر بخواهيم مجموع مدتهايي را كه خرگوش در تعقيب او بوده است جمع كنيم خواهيم داشت:

½+1/4+1/8+1/16+1/32+1/64+…

چون اعداد بينهايت هستند بنابراين مي توان اين مدتها را مرتباً ادامه داد بدون اينكه به انتها رسيد .پس خرگوش هرگز موفق به گرفتن لاك پشت نمي شود.

اين مساله به ظاهر لاينحل مدتها ذهن مردم را به خود معطوف كرده بود، تا اينكه رياضي دان ديگري در آن زمان، با يك روش ساده و بدون استفاده از فرمول حد مجموع(در تصاعد)مساله فوق را حل كرد، كه اين راه حل حالا هم در نوع خود بسيار جالب توجه است.

به اين ترتيب:

يك صفحه كاغذ به شكل مربع انتخاب مي كنيم. و سط هاي اضلاع آن را پيدا كرده، دو به دو به هم وصل مي كنيم(نقاط واقع روي اضلاع مجاور را به يكديگر).

چهار مثلث قائم  زاويه  متساوي الساقين را، كه به اين ترتيب حاصل مي شوند، به داخل مربع تا مي كنيم. مطابق شكل، دو مربع بدست مي آيد، كه هر كدام نصف واحد محسوب مي شود (يكي مربع وسطي، و ديگري مربعي كه از چهار مثلث ساخته شده است). چهار مثلث فوق را بريده، و كنار مي گذاريم. در مربع باقي مانده دوباره همين كار را انجام مي دهيم، و چهار مثلث جديد را مي بريم، و كنار مثلثهاي اولي قرار  مي دهيم. به همين ترتيب در مربع باقيمانده، كه ربع واحد است ، اين كار را تكرار مي كنيم …

اگر تشكيل مثلثها و بريدن آنها را به همان نحو ادامه دهيم تمام كاغذ مربعي بريده خواهد شد. اما عملاً اگر قسمتهاي بريده شده را جمع كنيم،  مساوي واحد خواهد بود. يعني :

½+1/4+1/8+1/26+1/32+… = 1

غيب گويي با استفاده از رياضيات

روي ميز سه جسم قرار دهيد, به طوري كه تعداد حروف تشكيل دهنده ي هر كدام از  آنها از 9 بيشتر نباشند. مثلا كاغذ كه چهار حرفي و قلم كه سه حرفي است. سپس از يك نفر از حاضرين تقاضا ميكنيد, كه كاغذ و مداد بردارد, و دور از چشم شما ,وبا شركت يكي دو نفر ديگر هرچه شما مي گوييد عمل كند. و آن وقت چنين

 مي‌گوييد:

1-اسم يكي از اين سه جسم را به دلخواه روي كاغذ بنويسيد.

2-تعداد حروف آنرا در 5ضرب كنيد.

3-به اين حاصلضرب عدد 3را اضافه نماييد.

4-حاصل جمع بدست آمده را به2 ضرب كنيد.

5-به حاصلضرب بدست آمده رقم دلخواهي(از 1 تا9)بيافزاييد.

6-نتيجه را به من بدهيد تا بگويم شما كدام جسم را انتخاب كرده يد و چه رقم دلخواهي رويش اضافه كرده يد. به اين ترتيب عددي به دست شما خواهد رسيد, كه بدون شك دو رقمي است. و حالا شما از عدد مزبور به طور ذهني 6 را كم مي كنيد از اين باقيمانده دو رقمي آنكه در طرف چپ قرار دارد تعداد حروف جسم مفروض و در نتيجه خود آن را مشخص خواهد كرد و رقم طرف راست عدد دلخواه اضافه شده به اين محاسبات است مثلاً سه جسم (گلدان 5 حرفي و قلم سه حرفي  و خودكار شش حرفي را) در نظر ميگيريم اگر به فرض جسم انتخاب خودكار باشد اعمال انجام شده به ترتيب چنين خواهد بود:

(33 * 2 = 66 )  , (30 + 3=33)    ,    (6*5=30)

و چنانچه رقم دلخواه 2 باشد، خواهيم داشت:                  66+2=68          و فقط عدد 68 به اجرا كننده بازي گفته مي شود، كه او عدد ثابت 6 را از آن كم مي كند:

68-6=62

كه در اينجا 6 تعداد حروف به كار رفته در خودكار بوده، و2 رقمي است كه به طور دلخواه در محاسبه وارد شده است. اگر اين بازي با مهارت انجام پذيرد، باعث خواهد شد كه حاضران وجود يك استعداد مافوق حسي را در شما حدس بزنند، در صورتي كه شما فقط از قواعد رياضي كمك گرفته يد.